Studijoms.lt

Referatai, konspektai

Geometrija

Autorius: Valdas

Turinys

Kai kurių terminų ir sąvokų kilmė

Apie trikampius

Apie lygiašonį trikampį. Talis Miletietis

Apie trikampio kampų sumą

Atkarpų skaičiavimas XVII – XVIIIa.

Euklido ,,Pradmenų” aksiomos

Dvisieniai ir daugiasieniai kampai

Kai kurių terminų ir sąvokų kilmė

Didelė dalis šiandien mokykloje vartojamų geometrijos terminų (pavadinimų) atsirado dar senovės Graikijoje. Kai kurie graikiški terminai jau senovėje, o po to ir viduramžiais buvo išversti į lotynų kalbą, kurią daugelį amžių vartojo mokslininkai. Todėl dauguma matematikos terminų yra kilę iš graikų arba lotynų kalbos.

Štai keletas pavyzdžių:

Planimetrija – viduramžių žodis, kilęs iš lotyniškojo planum – plokštuma ir graikiškojo metreo – matuoju.

Figūra – lotyniškas žodis, reiškiantis išvaizdą, pavidalą, brėžinį. Šis terminas visų vartojamas jau nuo XII amžiaus.

Linija sudaryta iš lotyniško žodžio linea (brūkšnys , linija), savo ruožtu kilusio iš žodžio linum – linas, lininis siūlas, virvė, virvelė. Virvele arba virve naudojosi romėnų matininkai.

Diametras – iš graikiškojo diametros – skersmuo, kiaurai matuojantis.

* * *

STATUSIS KAMPAS – viena seniausių geometrijos sąvokų. Ji siejama su žmogaus ir kitų aplinkos daiktų vertikalios padėties vaizdiniu.

Teiginys, kad dviejų gretutinių kampų suma lygi dviem statiesiems kampams, t.y. 2d (d – prancūziško žodžio droit ,,status” pirmoji raidė), buvo daug kartų patikrintas praktikoje, jį suformulavo dar senovės babiloniečiai ir egiptiečiai.

Kaip pasakoja Eudemas Rodietis (IV a.pr.m.e.), parašęs pirmąją pasaulyje matematikos istoriją, kryžminių kampų lygybę pirmasis įrodė įžymus senovės graikų filosofas ir matematikas TALIS MILETIETIS (VII – VIa.pr.m.e.).

Apie trikampius

Trikampis – paprasčiausia uždara tiesinė figūra, viena pirmųjų, kurios savybes žmogus pažino dar žiloje senovėje. Su šia figūra dažnai būdavo susiduriama praktiniame gyvenime. Nuo amžių statyboje taikoma trikampio standumo savybė įvairiems statiniams ir jų detalėms sutvirtinti. Trikampių brėžinių ir trikampių uždavinių randama papirusuose, senose indų knygose ir kituose senovės dokumentuose. Senovės Graikijoje trikampių mokslą plėtojo Jonijos mokykla, kurią įkūrė Talis VIIa.pr.m.e., ir Pitagoro mokykla. Jau Talis įrodė, kad trikampį nustato viena kraštinė ir du prie jos esantys kampai. Vėliau visą trikampių teoriją plačiai išdėstė Euklidas savo pirmojoje ,,Pradmenų” knygoje. Trikampio sąvoka istoriškai rutuliojosi turbūt šitaip: iš pradžių buvo nagrinėjami tik taisyklingi, paskui lygiašoniai ir pagaliau įvairiakraščiai trikampiai.


Apie lygiašonį trikampį. Talis Miletietis

Lygiašonis trikampis pasižymi tokiomis geometrinėmis savybėmis, į kurias žmogus atkreipė dėmesį dar senovėje. Ahmeso papiruse esančiuose trikampių uždaviniuose svarbią vietą užima lygiašonis ir statusis trikampis. Praktikoje dažnai buvo taikoma lygiašonio trikampio pusiaukraštinės savybė. Ši pusiaukraštinė kartu yra ir aukštinė, ir pusiaukampinė. Daugelyje kalbų vartojamas terminas ,,mediana” (pusiaukraštinė) kilęs iš lotyniškojo žodžio ,,mediana”,

reiškiančio ,,vidurinė” (linija). Kad lygiašonio trikampio kampai prie pagrindo lygūs, senovės babiloniečiai žinojo jau prieš 4000metų.

Talis Miletietis, kilęs iš pagrindinio Jonijos miesto, laikomas graikų filosofijos ir mokslo pradininku. Filosofiškai jis aiškino, kad pasaulis ne chaotiškas, o dėsningas. Jis manė, kad vanduo yra visko pradžia. Iš vandens atsirado visa, kas egzistuoja, ir juo galų gale vėl viskas pavirsta. Talio filosofinės veiklos istorinė reikšmė yra ta, kad jis žengė ryžtingą žingsnį nuo mitologinės pasaulėžiūros prie mokslinės materialistinės pasaulio sampratos.

Beveik visi senovės graikų filosofai kruopščiai darbavosi matematikoje, ypač geometrijoje. Proklas nurodo, jog Talis Miletietis įrodė, kad skersmuo dalija skritulį pusiau, kad kampas, įbrėžtas į pusapskritimį, yra status, kad kryžminiai kampai lygūs, kad lygiašonio trikampio kampai prie pagrindo lygūs ir kt. Šiuos teiginius iš dalies jau buvo atskleidę babiloniečiai ir egiptiečiai.Tačiau babiloniečių ir egiptiečių geometrija buvo daugiausia praktinio ir taikomojo pobūdžio, o graikų geometrija siekė įrodyti, kad geometriniai teiginiai teisingi ne tik atskiru, atsitiktiniu, bet ir kiekvienu atveju. Taikydami bendro pobūdžio įrodymus, pamažu eidami nuo vienos tiesos prie kitos, graikų matematikai sukūrė geometrijos mokslą. Griežta logine kryptimi geometriją pirmieji pasuko Jonijos mokyklos geometrai. Šią mokyklą įkūrė Talis.

Talis buvo susipažinęs ir su babiloniečių astronomija. Platonas, garsus IVa.pr.m.e. graikų filosofas, pasakoja, kad Talis, stebėdamas žvaigždes, įkrito į šulinį, o greta stovinti moteriškė pasišaipė iš jo sakydama: ,,Nori žinoti, kas dedasi danguje, o kas po kojomis, nemato…”

Talis padarė keletą atradimų astronomijoje: nustatė ekvinokcijų ir solsticijų laiką, apskaičiavo metų trukmę, Talis Milenietis pirmasis pastebėjo Mažuosius Grįžulo ratus ir kt.


Apie trikampio kampų sumą

Trikampio kampų sumos savybė empiriškai buvo pastebėta tikriausiai dar senovės Egipte, tačiau mus pasiekusios žinios apie įvairius jos įrodymus priklauso daug vėlesniam laikotarpiui. Prokolas tvirtina, kad pagal Eudemą Rodietį įrodymą atrado dar pitagoriečiai. Proklas rašo: ,,Pitagoras pirmasis sukūrė geometrijos principus”. Pitagoriečiai padėjo formuotis geometrijos mokslui, pagrįstam aksiomomis ir įrodymais.

Euklidas pateikia kitą trikampio kampų sumos teoremos įrodymą. Didysis senovės graikų filosofas Aristotelis savo ,,Metafizikoje” kalba apie šį teiginį, kaip apie jam žinomą.

Reikia pažymėti, kad tiek Proklo, tiek ir Euklido įrodymas pagrįstas teiginiu, jog dvi lygiagrečias tieses perkirtus trečiąja, vidaus priešiniai ir atitinkamieji kampai lygūs. Šis teiginys įrodomas, remiantis Euklido lygiagretumo aksioma. Vadinasi, teiginys, kad trikampio kampų suma lygi 2d, teisingas, jeigu teisinga Euklido lygiagretumo aksioma, kurios Euklido aksiomų sistemoje įrodyti nereikia.

Tą patį galima pasakyti ir apie daugiakampio kampų sumą S=2d(n – 2).

Atkarpų skaičiavimas XVII – XVIIIa.

Bet kurį diskretųjį arba tolydųjį dydį (skaičių, ilgį, plotą, tūrį ir kt.) Dekartas pavaizdavo atkarpa ir pradėjo vartoti veiksmus su atkarpomis. Visi bet kurio algebrinio reiškinio arba lygties nariai buvo atkarpos, todėl vienarūšiškumo principas prarado bet kokią prasmę. Kadangi Dekartas, kaip ir Euklidas, daugiausia operavo nekryptinėmis atkarpomis ir vartojo jas taip, kaip skaičius, jo atkarpų skaičiavimas toliau nesiplėtojo.

Geometrinio skaičiavimo sukūrimo idėją, artimą dabartiniam vektoriniam skaičiavimui, pirmą kartą 1679m. iškėlė Leibnicas viename savo laiške Heigensui. Paskutiniaisiais XVIIa. Dešimtmečiais ir XVIIIa. Matematikų veikla nukrypo į matematinę analizę ir jos pritaikymą gamtos mokslams. Geometrijos klausimams, geometriniams metodams ir algoritmams šios epochos mokslininkai didelio dėmesio neskyrė. Štai kodėl ,,geometrinio skaičiavimo” kūrimu vėl susidomima tik XIXa. pradžioje. Tačiau dar XVIa. Pabaigoje – XVIIa. Pradžioje Leonardas daVinčis, Galilėjas Galilėjus ir kiti mokslininkai, norėdami suprantamai pavaizduoti fizikoje jėgą, vartojo krypties atkarpas.

Tačiau minimoje epochoje gamtos moksluose dar nesusiformavo aiškus vektorinio dydžio supratimas, o algebrinių veiksmų su kryptinėmis atkarpomis idėja tik gimė. Dabartinio vektorinio skaičiavimo pradžia laikomas XIXa.

Euklido ,,Pradmenų” aksiomos

Išdėstant geometriją, kaip ir bet kurį kitą mokslą, dedukciniu būdu, išeities tašku reikia laikyti ne tik pagrindines neapibrėžiamąsias sąvokas, bet ir kai kuriuos paprastus, t.y. neįrodomus, teiginius, kartais vadinamus postulatais, dažniau – aksiomomis. Remiantis jais, galima griežtai logiškai įrodyti visus kitus teiginius, jau vadinamus teoremomis.

Euklido postulatai ir aksiomos, kurių jis netapatino (postulatai yra grynai geometrinio pobūdžio).

Dvisieniai ir daugiasieniai kampai

Dvisienio, trisienio, daugiasienio kampo sąvokos kilusios iš įvairių kristalų geometrinių formų tyrinėjimo ir įvairių pastatų statybos praktikos.

Mokymas apie dvisienius ir daugiasienius kampus yra absoliučiosios geometrijos dalis, nors atitinkamai įrodymai tiesiogiai arba netiesiogiai kuriami Euklido.

Teoremą, kad iškilojo briaunainio plokščiųjų kampų prieviršūnės suma mažesnė už 4d, Euklidas formuluoja bendruoju atveju, bet ją įrodo tik trisienio kampo atveju.

Be to, daugelį amžių šis teiginys buvo akivaizdus ir neabejotinas. Iš tiesų, bet kurį iškiląjį daugiasienį kampą perkirtę išilgai kurios nors jo briaunos ir iškloję plokštumoje, matome, kad jis niekada napadengia plokštumos ir visada yra laisvos vietos tam tikram kampui.

Naudota literatūra:

G.Gleizeris

,,Matematikos istorija mokykloje IV-VI”

,,Matematikos istorija mokykloje X-XII”

Paskelbtas
prieš
nelabai

Rašykite komentarą

-->